Das Apfelmännchen kommt aus der Familie der Fraktale, genauer der Mandelbrotmenge. Ein Fraktal definiert sich dadurch, dass es Muster besitzt, die sich innerhalb des Musters wiederfinden. Wenn man z.B.: eine Visualisierung vergrößert, finden sich die ursprünglichen Muster immer wieder – theoretisch bis ins Unendliche. In der Mathematik kann ein Fraktal z.B. durch eine Folge definiert werden.
Das Apfelmännchen hat seinen Namen von der Form seiner Visualisierung. Diese ähnelt einen Apfel, der “Arme” und “Beine” hat und auf der Seite liegt. Die zugrunge liegende Theorie ist die Folgende:
Begonnen wird mit der komplexen rekursiven Folge:
z0 = 0 zn+1 = z2+c
Wenn für ein Folgenglied gilt: |zn| > 2, so divergiert die Folge. In der Regel wird n benutzt, um eine Farbe zur grafischen Darstellung zu berechnen. Diese Folge wird für jedes Pixel in einem Bild berechnet. Dazu dient die (x, y) Position als Startwert c.
Wenn dann die gesamte Fläche für ein Bild berechnet wird, entsteht das Bild des Apfelmännchens.
Es entstehen ansehliche Bilder, wenn man die Parameter (x, y) Position, Zoom, und Farbberechnung verändert. Unten sind einige Bilder, die durch ein Java-Programm mit verschiedenen Einstellungen erstellt wurden.
